Условие
Имеется инструмент для геометрических построений на
плоскости ("угольник"), позволяющий делать следующее:
а) если даны две точки, то можно провести проходящую
через них прямую;
б) если дана прямая и точка на ней, то можно восставить
перпендикуляр к этой прямой в данной точке.
Как с помощью этого инструмента опустить перпендикуляр
из данной точки на прямую, не проходящую через эту точку?
Решение
Пусть A — данная точка, l — данная прямая, не
проходящая через точку A . Возьмём на прямой l точки
B и C , проведём прямые AB и AC и восставим к ним
перпендикуляры в точках B и C соответственно. Пусть
эти перпендикуляры пересекаются в точке D . Докажем, что
проекции A' и D' точек A и D на прямую BC симметричны
относительно середины M отрезка BC .
Действительно, из точек B и C отрезок AD виден из под прямым
углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AD .
Проекция M центра O этой окружности на хорду BC —
середина BC , а т.к. M — проекция середины O диаметра AD , то
M — середина проекции A'D' этого диаметра на BC .
Что и требовалось доказать.
Продолжим построение. Построим произвольный прямугольник BCEF и
повторим для отрезка EF и точки D первоначальное построение, т.е.
восставим перпендикуляры в точках E и F к прямым DE и DF .
Пусть эти перпендикуляры пересекутся в точке G .
Тогда проекции D'' и G' точек D и G на прямую EF симметричны
относительно середины N отрезка EF . Через точки A и G проведём
прямую и докажем, что эта прямая — искомая.
Действительно, G'N=D"N=MD'=A'M , следовательно, точки A , A' ,
G' и G лежат на одной прямой и эта прямая перпендикулярна данной
прямой l .
Известно, что если на плоскости даны две параллельные прямые,
то можно через любую точку плоскости провести параллельную им
прямую с помощью одной линейки. В нашем случае в качестве
линейки используется "угольник".
Пусть A — данная точка, l — данная прямая, не
проходящая через точку A . Возьмём на прямой l точки
B и C , восставим в них перпендикуляры к прямой l .
Получим две параллельные прямые. Через точку A проведём
параллельную им третью прямую. Это и будет перпендикуляр к
прямой l , проходящий через точку A .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
2567 |
