Задача 115679

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60^o , а высоты CE и AD пересекаются в точке O . Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на общей биссектрисе углов AOE и COD .

Решение

Обозначим BC=a , AB=c . Предположим, что a>c . Пусть F и G — проекции центра S описанной окружности треугольника ABC на стороны OD и OC угла DOC . Докажем, что SF=SG . Отсюда будет следовать, что OS — биссектриса этого угла.
Действительно, пусть X и Y — проекции точки S на стороны BC и AB соответственно. Тогда X и Y — середины этих сторон, а DXSF и EYSG — прямоугольники, поэтому

SF=DX=BX-BD=BX-AB cos 60^o=-,

SG=EY=BE-BY=BC cos 60^o-BE=-,
значит, SF=SG . Что и требовалось доказать.


Предположим, что BC>AB .
Докажем сначала, что общая биссектриса l углов AOE и COD перпендикулярна биссектрисе угла B . Действительно, если биссектриса угла B пересекает высоту AD и прямую l в точках P и Q соответственно, то
POQ = DOC = 30^o= PBD,
значит, острые углы прямоугольного треугольника PBD соответственно равны двум углам треугольника POQ . Следовательно, OQP = 90^o , что и требовалось доказать.
Докажем теперь, что биссектриса угла B перпендикулярна прямой, проходящей через точку O пересечения высот треугольника ABC и центр S описанной окружности этого треугольника. Для этого воспользуемся двумя известными фактами: SBC = ABO и OB = 2SM , где M — середина стороны AC .
Из первого следует, что биссектриса угла ABC является также биссектрисой угла OBS , а из второго — BS = SC = 2SM = BO (т.к. MSC = 60^o ), т.е. треугольник OBS — равнобедренный. Его биссектриса, проведённая из вершины B , является высотой. Таким образом, проходящие через точку O прямые OS и l перпендикулярны биссектрисе угла B , значит, они совпадают. Отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2570