Задача 115686

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На стороне AC треугольника ABC выбрана точка X . Докажите, что если вписанные окружности треугольников ABX и BCX касаются друг друга, то точка X лежит на окружности, вписанной в треугольник ABC .

Решение

Пусть вписанная окружность треугольника ABX касается его сторон AB и AX в точках L и K соответственно, вписанная окружность треугольника BCX касается его сторон BC и CX в точках M и N соответственно, Y — точка касания этих окружностей, а p — полупериметр треугольника ABC . Тогда

KX=XY=NX, p=AK+KX+CN+BM=AX+CN+BM=AX+CM+BM,
значит, AX = p-(CM+BM)=p-BC . Следовательно, X — точка касания стороны AC треугольника ABC с его вписанной окружностью.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2577