Условие
На стороне
AC треугольника
ABC выбрана точка
X . Докажите, что если вписанные окружности
треугольников
ABX и
BCX касаются друг друга,
то точка
X лежит на окружности, вписанной в
треугольник
ABC .
Решение
Пусть вписанная окружность треугольника
ABX касается
его сторон
AB и
AX в точках
L и
K соответственно,
вписанная окружность треугольника
BCX касается его
сторон
BC и
CX в точках
M и
N соответственно,
Y — точка касания этих окружностей, а
p — полупериметр
треугольника
ABC . Тогда
KX=XY=NX, p=AK+KX+CN+BM=AX+CN+BM=AX+CM+BM,
значит,
AX = p-(
CM+BM)
=p-BC . Следовательно,
X —
точка касания стороны
AC треугольника
ABC с его вписанной
окружностью.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
2577 |
