Задача 115696

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, лежит на его диагонали, равной 5. Известно, что периметр четырёхугольника равен 14, а площадь равна 12. Найдите вторую диагональ и стороны четырёхугольника.

Решение

Пусть AC=5 — диагональ данного четырёхугольника ABCD , O — центр вписанной в четырёхугольник окружности. Центр окружности, вписанной в угол,лежит на биссектрисе этого угла, поэтому треугольники ABC и ADC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Обозначим AB=AD=x , BC=CD=y , ABC=α . Тогда

x+y=7, xy sin α = 6, xy=, x2+y2-2xy cos α = 25,

x2+y2-2xy cos α = (x+y)2-2xy-2xy cos α = 49-2xy(1+ cos α)=25, xy=.
Из равенства = следует, что 1+ cos α = sin α . После возведения обеих частей этого уравнения в квадрат и очевидных упрощений получим уравнение cos α(1+ cos α)=0 , а т.к. 0<α<180^o , то α=90^o .
Таким образом

Из этой системы находим, что x=3 , y=4 или x=4 , y=3 , а площадь треугольника ABC равна 6.
Точки A и C равноудалены от концов отрезка BD , значит, AC — серединный перпендикуляр к отрезку BD . Из равенства AC· BD= 12 (площадь четырёхугольника ABCD ) находим, что
BD===.

Ответ

, 3, 4, 3, 4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3315