Задача 115706

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В круге с центром O хорда AB пересекает радиус OC в точке D , причём CDA = 120^o . Найдите радиус окружности, касающейся отрезков AD , DC и дуги AC , если OC = 2 , OD = .

Решение

Пусть x — радиус искомой окружности, O1 — её центр, M — точка касания с отрезком DC . В прямоугольном треугольнике OO1M известно, что

O1M = x, OM = OD + DM = + , OO1= 2 - x.
По теореме Пифагора
OO21 = OM2 + O1M2, или (2 - x)2 = ( + )2 + x2.
Отсюда находим, что x = 2 -9 .

Ответ

2-9 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	431