Петя увидел на доске несколько различных чисел и решил составить выражение, среди значений которого все эти числа есть, а других нет. Составляя выражение, Петя может использовать какие угодно числа, особый знак "±", а также обычные знаки "+", "–", "×" и скобки. Значения составленного выражения он вычисляет, выбирая для каждого знака "±" либо "+", либо "–" во всех возможных комбинациях. Например, если на доске были числа 4 и 6, подойдёт выражение  5 ± 1,  а если на доске были числа 1, 2 и 3, то подойдёт выражение  (2 ± 0,5) ± 0,5.  Возможно ли составить необходимое выражение, если на доске были написаны
  а) числа 1, 2, 4;
  б) любые 100 различных действительных чисел?

   Решение

Темы:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и F соответственно, E — середина отрезка DF . Докажите, что AD+FC AE+EC .

Решение

Пусть D' — точка, симметричная точке D относительно точки A , а F' — симметрична точке F относительно точки C . Тогда DD'=2AD , FF'=2FC , а т.к. AE и CE — средние линии треугольников FDD' и DFF' , то FD'=2AE и DF'=2EC .
Известно, что сумма диагналей выпуклого четырёхугольника больше суммы двух противоположных сторон, поэтому FD'+DF'>DD'+FF' , или 2AE+2EC > 2AD+2FC . Следовательно, AD+FC < AE+EC . (Если точка D совпадает с A , а F совпадает с C , то AD+FC = AE+EC .)

Источники и прецеденты использования