Задача 115722

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD даны точки E и H соответственно. Докажите, что если треугольники ABH и CDE равновелики и AE:BE=DH:CH , то прямая BC параллельна прямой AD .

Решение

Поскольку

= ==,
то отрезок EH делит площади треугольников ABH и CDE в одном и том же отношении, а т.к. эти площади равны, то S_{Δ BEH}=S_{Δ CEH} , значит, высоты треугольников BEH и CEH также равны, т.е. точки B и C , лежащие по одну сторону от прямой EH , равноудалены от этой прямой. Тогда BC || EH . Аналогично, AD || EH . Следовательно, BC || AD .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2553