|
|
 |
Условие
Два выпуклых четырёхугольника таковы, что стороны каждого лежат на серединных перпендикулярах к сторонам другого. Найдите их углы.
Решение
Пусть сторона C'D' четырёхугольника A'B'C'D' лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB четырёхугольника ABCD, а сторона D'A' на серединном перпендикуляре к BC. Тогда D' – центр окружности, описанной около треугольника ABC. Аналогично A', B', C' – центры описанных окружностей треугольников BCD, CDA, DAB. Следовательно, B'D' – серединный перпендикуляр к AC. В свою очередь AC является серединным перпендикуляром к одной из диагоналей четырёхугольника A'B'C'D', а так как прямая AC перпендикулярна B'D' и B'D' не параллельна A'C', AC – серединный перпендикуляр к B'D', то есть AB'CD' –
ромб.
Композиция симметрий относительно прямых C'D', D'A', A'B' и B'C' оставляет точку A на месте и, значит, является поворотом с центром A. С другой стороны, она является композицией поворотов с центром D' на удвоенный угол C'D'A' и с центром B' на удвоенный угол A'B'C', следовательно,
∠C'B'A' = ∠AB'D' = ∠B'D'A = ∠A'B'C'. Аналогично ∠B'C'D' = ∠D'A'B', то есть A'B'C'D' – параллелограмм. Так как стороны четырёхугольника ABCD перпендикулярны сторонам параллелограмма A'B'C'D', ABCD – параллелограмм с такими же углами.
Так как C – центр описанной окружности треугольника B'C'D', ∠D'CB' = 2∠C'D'A' = ∠B'D'C + ∠CB'D' = 90°. Соответственно, острые углы параллелограммов ABCD и A'B'C'D' равны 45°.
Нетрудно видеть, что два таких параллелограмма, получающихся друг из друга поворотом на 90° вокруг общего центра, удовлетворяют условию задачи
(см. рис.).
