Задача 115781

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ ГМТ (прочее) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Найдите геометрическое место вершин треугольников с заданными ортоцентром и центром описанной окружности.

Решение

  Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC, H – ортоцентр, C₀ – середина стороны AB. Тогда     и так как C₀ лежит внутри описанной окружности,  CH < 2OC.  Точки, удовлетворяющие этому условию, лежат вне окружности, диаметрально противоположными точками которой являются точка M, делящая отрезок OH в отношении  1 : 2  (точка пересечения медиан, см. задачу 55595), и точка M', симметричная H относительно O. Для таких точек C искомый треугольник строится следующим образом: построим точку C₀ как образ C при гомотетии с центром M и коэффициентом –½, проведём через неё прямую, перпендикулярную CH, и найдём точки A, B пересечения этой прямой и окружности с центром O и радиусом OC.
  Однако это построение может привести к вырожденному треугольнику, у которого точки A, B, C лежат на одной прямой. Это происходит, когда
∠OC₀C = ∠MCH = 90°,  то есть точка C лежит на окружности с диаметром MH. Исключением является сама точка H, для которой искомый треугольник существует, – это может быть любой прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является диаметр окружности с центром O и радиусом OH.

Ответ

Bнешность окружности с диаметром MM', исключая окружность с диаметром MH, но включая точку H (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2007
тур
задача
Номер	18