Задача 115858

Темы:    [ Замечательное свойство трапеции ] [ Центр масс ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Нилов Ф.

Дан четырёхугольник ABCD. Его противоположные стороны AB и CD пересекаются в точке K. Его диагонали пересекаются в точке L. Известно, что прямая KL проходит через центр тяжести вершин четырёхугольника ABCD. Докажите, что ABCD – трапеция.

Решение

Предположим, что прямые AD и BC пересекаются в точке M. Пусть X, Y – точки пересечения этих прямых с прямой KL. Тогда по теореме о полном четырёхстороннике (см. задачу 58441) двойные отношения (ADMX) и (BCMY) равны –1. Следовательно, оба отношения  AX : XD  и  BY : YC  либо больше, либо меньше 1, и отрезок XY не пересекается с отрезком, соединяющим середины сторон AD и BC, на котором лежит центр тяжести вершин четырёхугольника. Поэтому условие задачи выполняется только при  AD || BC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Класс
Класс	10
задача
Номер	10.2