Задача 58441
|
|
 |
Условие
Даны четыре точки A, B,
C, D. Пусть P, Q, R — точки пересечения
прямых AB и CD, AD и BC, AC и BD соответственно;
K и L — точки пересечения прямой QR с прямыми AB и CD
соответственно. Докажите, что (QRKL) = - 1
(теорема о полном четырехстороннике).
Решение
Сделаем проективное преобразование, исключительной прямой которого является прямая PQ. Через A', B',... обозначим образы точек A, B,... Тогда A'B'C'D' — параллелограмм, R' — точка пересечения его диагоналей, Q' — бесконечно удаленная точка прямой Q'R', K' и L' — точки, высекаемые сторонами параллелограмма на прямой Q'R'. Ясно, что точки K' и L' симметричны относительно точки R'. Следовательно,
(Q'R'K'L') = 
: 
= 1 : = - 1.
Остается заметить, что согласно задаче 30.2, б)
(QRKL) = (Q'R'K'L').
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 30 |
| Название | Проективные преобразования |
| Тема | Проективная геометрия |
| параграф | |
| Номер | 3 |
| Название | Переведем данную прямую на бесконечность |
| Тема | Переведем данную прямую на бесконечность |
| задача | |
| Номер | 30.034 |
