Задача 115871

Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Даны окружность и не лежащая на ней точка. Из всех треугольников, одна вершина которых совпадает с данной точкой, а две другие лежат на окружности, выбран треугольник наибольшей площади. Докажите, что он равнобедренный.

Решение

Пусть C – данная точка, A, B – точки на окружности (см. рис.). Если касательная к окружности в точке A не параллельна CB, то, переместив точку A, можно увеличить расстояние от неё до BC, а значит, и площадь треугольника. Аналогично касательная в точке B параллельна CA. Следовательно, прямые AC и BC симметричны относительно серединного перпендикуляра к AB, то есть  AC = BC.

Замечания

Проведённое рассуждение не зависит от того, лежит ли данная точка внутри или вне окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Тур
задача
Номер	15