|
|
 |
Условие
Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу. Точку касания этой сферы с основанием пирамиды спроектировали на рёбра основания. Докажите, что все проекции лежат на одной окружности.
Решение
Пусть ABCD – основание пирамиды, P – точка касания основания с вписанной сферой, P' – точка касания основания с вневписанной сферой, касающейся основания и продолжения боковых граней. Тогда расстояния от P до сторон основания относятся как котангенсы половин двугранных углов при соответствующих ребрах, а расстояния от P' – как их тангенсы. Отсюда следует, что прямые, соединяющие каждую вершину
основания с P и P', симметричны относительно биссектрисы
соответствующего угла основания.
Пусть теперь K, L, M, N – точки, симметричные P
относительно AB, BC, CD, DA. Так как, например, BK = BP = BL, серединный перпендикуляр к KL совпадает с биссектрисой угла KBL, то есть прямой BP' (см. рис.). Значит, P' – центр окружности, проходящей через точки K, L, M, N. Применив гомотетию с центром P и коэффициентом ½, получаем, что середина отрезка PP' – центр окружности, проходящей через проекции P на рёбра основания.
