Задача 115912

Темы:    [ Поворотная гомотетия ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные треугольники: Δ A'BC Δ B'CA Δ C'AB . Докажите, что в треугольниках ABC и A'B'C' точки пересечения медиан совпадают.

Решение

Пусть P — поворотная гомотетия, переводящая вектор в вектор , т.е. P()= . Из равенства соответствующих углов и пропорциональности соответствующих сторон подобных треугольников следует, что

P()=, P()=,
поэтому
++= (+)+ (+)+ (+)=

=+P()+ +P()+ +P() =

=(++)+ (P()+P()+ P())= +=.

Пусть M и M' — точки пересечения медиан треугольников ABC и A'B'C' соответственно. Тогда
=(+ +)= · =.
Следовательно, точки M и M' совпадают.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2283