ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 115919
Условие
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC
проведены высоты AD , BE и CF . Точки X , Y и
Z таковы, что D , E и F являются серединами
отрезков BX , CY и AZ соответственно. Докажите,
что центры окружностей, описанных около треугольников
ACX , ABY и BCZ , являются вершинами треугольника,
равного треугольнику ABC .
Решение
Пусть Z' — точка, симметричная точке Z относительно
прямой BC (рис.1). Тогда
(треугольник ACZ равнобедренный, т.к. его высота CF является медианой). Из точек Z' и A , лежащих по одну сторону от прямой BC , отрезок BC виден под одним и тем же углом, значит, точки A , B , C и Z' лежат на одной окружности — окружности, описанной около треугольника ABC . Поэтому при симметрии относительно прямой BC окружность, описанная около треугольника BCZ , переходит в окружность, описанную около треугольника ABC , а значит, центр первой из этих окружностей переходит в центр второй. Аналогично для центров остальных окружностей, о которых говорится в условии. Таким образом, центры O1 , O2 и O3 окружностей, описанных около треугольников ACX , ABY и BCZ , симметричны центру O описанной окружности треугольника ABC относительно его сторон. Заметим, что и треугольник ABC , и треугольник O1O2O3 (рис.2) подобны с коэффициентом 2 треугольнику с вершинами в серединах сторон треугольника ABC . Отсюда следует утверждение задачи. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке