Задача 115923

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вспомогательная окружность ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точка M находится внутри диаметра AB окружности и отлична от центра окружности. По одну сторону от этого диаметра на окружности взяты произвольные различные точки P и Q , причём отрезки PM и QM образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые PQ проходят через одну точку.

Решение

Продолжим отрезок QM за точку M до пересечения с окруэностью в точке P' . Тогда AMP'= QMB = AMP , значит, при симметрии относительно диаметра AB , луч MP переходит в луч MP' , а т.к. окружность симметрична относительно любого своего диаметра, то точка P при этом переходит в P' .
Пусть O — центр окружности, R — её радиус. Угол PMQ — внешний угол равнобедренного треугольника PMP' , поэтому

POQ = 2 PP'Q = 2· PMQ = PMQ,
значит, из точек O и M , лежащих по одну сторону от прямой PQ , отрезок PQ виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки P , Q , M и O лежат на одной окружности.
Пусть прямые PQ и AB пересекаются в точке K . Тогда
KO2-R2=(KO-R)(KO+R)=(KO-OB)(KO+OA)=KB· KA = KQ· KP=KM· KO,
поэтому
KO· OM= KO· (KO-KM)=KO2-KM· KO =R2.
Таким образом, точка K не зависит от выбора точек P и Q . Отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2595