Задача 115933

Темы:    [ Свойства инверсии ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что при инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, переходит сама в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.

Решение

  Рассмотрим инверсию относительно окружности S радиуса R с центром O. Пусть M – произвольная точка прямой a, проходящей через центр O.
  Если точка M совпадает с O, то образ точки M – бесконечно удалённая точка. Если точка M отлична от O, то её образ M' – точка, лежащая на луче OM. Следовательно, образ любой точки прямой a также лежит на этой прямой.
  Обратно, каждая точка прямой a (включая бесконечно удалённую) является образом некоторой точки этой прямой.
  Далее см. задачу 58319.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6110