Условие
Докажите, что если окружность и прямая (либо две окружности)
касаются в точке
M , отличной от точки
O , то их образы
при инверсии относительно окружности с центром
O также
касаются, а при инверсии с центром
M окружность и прямая
(две окружности) переходят в две параллельные прямые.
Решение
Пусть точка
M не совпадает с центром инверсии.
Прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит
в окружность, а окружность, не проходящая через центр инверсии,
— также в окружность, поэтому, если
M — единственная общая
точка прямой и окружности (или двух окружностей), то её
образ
M' — единственная общая точка образов прямой и
окружности (или двух окружностей).
Пусть теперь точка
M — центр инверсии.
Прямая, проходящая через центр инверсии, переходит в себя,
а окружность, проходящая через центр инверсии, — в прямую,
не проходящую через центр инверсии. Точка
M при этом переходит
в бесконечно удалённую точку. Следовательно, образы прямой и
окружности (или двух окружностей) — прямые, не имеющие ни одной
общей точки, т.е. параллельные прямые.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6114 |
