Задача 115940

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Свойства сечений ] [ Параллельность прямых и плоскостей ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В основании пирамиды объёма V лежит трапеция с основаниями m и n . Плоскость отсекает от неё пирамиду объёма U , а в сечении получается снова трапеция с основаниями m1 и n1 . Докажите, что = .

Решение

Пусть S — вершина пирамиды SABCD , основание которой — трапеция ABCD с основаниями AD=m и BC=n , а секущая плоскость пересекает боковые рёбра SA , SB , SC и SD в точках A1 , B1 , C1 и D1 соответственно.
Если прямые AB и CD пересекаются в точке T , то плоскости боковых граней ABS и CDS пересекаются по прямой ST , значит, прямые A1B1 и C1D1 пересекаются в точке, лежащей на прямой ST . Следовательно, в трапеции A1B1C1D1 стороны A1D1 и B1C1 — основания, A1D1=m1 и B1C1=n1 .
Пусть l — прямая пересечения плоскостей граней ASD и BSC . Тогда AD || l и A1D1 || l , значит, A1D1 || AD и B1C1 || BC .
Пусть высоты пирамид SABCD и SA1B1C1D1 соответственно равны h и h1 , а плоскость, проведённая через вершину S перпендикулярно прямой AD , пересекает прямые AD , BC , A1D1 и B1C1 в точках E , F , E1 и F1 соответственно. Тогда EF и E1F1 — высоты трапеций ABCD и A1B1C1D1 , поэтому

= = .
Осталось доказать, что = .
Заметим, что высоты треугольников ESF и E1SF1 соответствнно равны h и h1 , поэтому = . С другой стороны
=· = · = · =,
следовательно, = . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7313