|
|
 |
Условие
В основании пирамиды объёма V лежит трапеция
с основаниями m и n . Плоскость отсекает от неё
пирамиду объёма U , а в сечении получается снова
трапеция с основаниями m1 и n1 . Докажите,
что =
.
Решение
Пусть S — вершина пирамиды SABCD , основание которой
— трапеция ABCD с основаниями AD=m и BC=n , а секущая
плоскость пересекает боковые рёбра SA , SB , SC и SD
в точках A1 , B1 , C1 и D1 соответственно.
Если прямые AB и CD пересекаются в точке T , то плоскости
боковых граней ABS и CDS пересекаются по прямой ST , значит,
прямые A1B1 и C1D1 пересекаются в точке, лежащей
на прямой ST . Следовательно, в трапеции A1B1C1D1
стороны A1D1 и B1C1 — основания, A1D1=m1
и B1C1=n1 .
Пусть l — прямая пересечения плоскостей граней ASD и BSC .
Тогда AD || l и A1D1 || l , значит,
A1D1 || AD и B1C1 || BC .
Пусть высоты пирамид SABCD и SA1B1C1D1 соответственно
равны h и h1 , а плоскость, проведённая через вершину S
перпендикулярно прямой AD , пересекает прямые AD , BC , A1D1
и B1C1 в точках E , F , E1 и F1 соответственно. Тогда
EF и E1F1 — высоты трапеций ABCD и A1B1C1D1 ,
поэтому
Осталось доказать, что
Заметим, что высоты треугольников ESF и E1SF1 соответствнно равны h и h1 , поэтому
следовательно,
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 7313 |
