Выбрано 3 задачи 
Версия для печати
Убрать все задачи
Окружность радиуса r1 касается сторон DA, AB и BC выпуклого четырехугольника ABCD, окружность радиуса r2 — сторон AB, BC и CD; аналогично определяются r3 и r4. Докажите, что
+ 
= 
+ 
.
Решение
Решение
Продолжения сторон AB и CD вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD — в точке Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AQB и BPC со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба.
Решение
Убрать все задачи
Окружность радиуса r1 касается сторон DA, AB и BC выпуклого четырехугольника ABCD, окружность радиуса r2 — сторон AB, BC и CD; аналогично определяются r3 и r4. Докажите, что
РешениеИмеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть гирь на каждой, что наступит равновесие. Докажите, что все гири имеют один и тот же вес.
РешениеПродолжения сторон AB и CD вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD — в точке Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AQB и BPC со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба.
Решение
Задача 115962
|
|
 |
Условие
Найдите x 3 + y3, если известно, что x + y = 5 и x + y + x2y + xy2 = 24.Решение
Так как x + y + x 2 y + xy 2 = x + y + xy (x + y) = (x + y)(xy + 1) = 24,
то используя условие x + y = 5, получим, что xy = 3,8.
Далее можно действовать по разному:
Первый способ. x3 + y3(x + y)3 – 3xy(x + y) = 125 – 3×3,8×5 = 68.
Второй способ. x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = (x + y)((x + y)2 – 3xy) = 5(25 – 3×3,8) = 68.
