|
|
 |
Условие
Два равносторонних треугольника ABC и CDE имеют общую вершину (см. рис). Найдите угол между прямыми AD и BE.
Решение
Первый способ. Пусть – точка пересечения AD и BE (рис. слева). Заметим, что треугольники ACD и BCE по двум сторонам и углу между ними, откуда следует, что ∠DAC = ∠EBC. Значит, ∠APB = 180° – (∠PAB + ∠PBA) = 180° – (∠CAB + ∠CBA) = 60°.
Bторой способ. При повороте с центром C и углом 60° точка B переходит в A, E – в D, то есть образом прямой BE является прямая AD и угол между ними равен 60°.
Третий способ. Пусть P – вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников ABC и CDE (рис. справа). Тогда ∠APC = ∠ABC = 60° и
∠DPC = 180° – ∠DEC = 120°. Значит, точки A, P и D лежат на одной прямой. Aналогично, на одной прямой лежат точки B, P и E.
При этом ∠APB = ∠ACB = 60°.
Ответ
60°.
