Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
На прямой отметили точки $X_1, \ldots, X_{10}$ (именно в таком порядке) и построили на отрезках $X_1X_2$, $X_2X_3$, ..., $X_9X_{10}$ как на основаниях равнобедренные треугольники с углом $\alpha$ при вершинах. Оказалось, что все эти вершины лежат на полуокружности с диаметром $X_1X_{10}$. Найдите $\alpha$.
Для всякого ли выпуклого четырёхугольника найдётся окружность, пересекающая каждую его сторону в двух внутренних точках?
На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С1, А1 и В1 соответственно так, что ВС1 = С1А1 = А1В1 = В1С.
Докажите, что точка пересечения высот треугольника С1А1В1 лежит на биссектрисе угла А.
Дан квадратный лист бумаги со стороной 1. Отмерьте на этом листе расстояние ⅚ (лист можно сгибать, в том числе, по любому отрезку с концами на краях бумаги и разгибать обратно; после разгибания на бумаге остаётся след от линии сгиба).
|
|
 |
Условие
Дан квадратный лист бумаги со стороной 1. Отмерьте на этом листе расстояние ⅚ (лист можно сгибать, в том числе, по любому отрезку с концами на краях бумаги и разгибать обратно; после разгибания на бумаге остаётся след от линии сгиба).
Решение
Пусть дан квадрат ABCD.
Первый способ. Разделим стороны AB и BC на две равные части. Для этого согнём его так, чтобы точка A совпала с точкой B, а затем так, чтобы точка B совпала с точкой C. Cгибая квадрат по отрезкам CM и AK (медианам треугольника ABC), построим L – точку пересечения его медиан (рис. слева). Затем согнём квадрат так, чтобы сторону AB прошла через точку L и при этом образ B' точки B попал на отрезок BC. Обозначим линию сгиба NN'. Тогда, поскольку ML = ⅓ MC, то по теореме Фалеса BB' = ⅓ BC = ⅓, следовательно, BN = B'N = ⅙ и NC = ⅚.
Bторой способ. Разделим стороны AB и CD на четыре равные части. Для этого согнём его так, чтобы точка A совпала с точкой B, а точка C с точкой D, а затем аналогичным образом еще раз. Пусть KK', MM' и LL' – следы от сгибов (рис. в центре), AL = LM = MK = BK = ¼, аналогично для отрезков на стороне CD. Cогнём квадрат по отрезку CL (диагонали прямоугольника LBCL') и обозначим точки пересечения сгиба с отрезками KK' и MM' через N и P. Тогда по теореме Фалеса LP = PN = NC. По теореме Пифагора CL² = BL² + BC² = (¾)² + 1, следовательно, CL = 5/4, а CP = ⅔ CL = ⅚.
Третий способ. Построим отрезок MK = ⅚ так, чтобы точки M и K лежали на сторонах AB и BC соответственно. Для этого достаточно построить точку M – середину AB и точку K на стороне BC так, чтобы BK : KC = 2 : 1. Тогда по теореме Пифагора MK – отрезок нужной длины. Точку M получим как в первом способе. Перегнём лист по отрезку DM и совместим точку C и образ точки A (рис. справа). Тогда получим точку K как пересечение линии сгиба с отрезком BC. Обозначив BK = x, по теореме Пифагора получим: (½)² + x² = (½ + 1 – x)², то есть x = ⅔.
