Миша написал на доске в некотором порядке 2004 плюса и 2005 минусов. Время от времени Юра подходит к доске, стирает любые два знака и пишет вместо них один, причём если он стёр одинаковые знаки, то вместо них он пишет плюс, а если разные, то минус. После нескольких таких действий на доске остался только один знак. Какой?

   Решение

Две окружности w₁ и w₂ пересекаются в точках A и B. К ним через точку A проводятся касательные l₁ и l₂ (соответственно). Перпендикуляры, опущенные из точки B на l₂ и l₁, вторично пересекают окружности w₁ и w₂ соответственно в точках K и N. Докажите, что точки K, A и N лежат на одной прямой.

   Решение

Тема:    [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности w₁ и w₂ пересекаются в точках A и B. К ним через точку A проводятся касательные l₁ и l₂ (соответственно). Перпендикуляры, опущенные из точки B на l₂ и l₁, вторично пересекают окружности w₁ и w₂ соответственно в точках K и N. Докажите, что точки K, A и N лежат на одной прямой.

Решение

Пусть M и L – основания перпендикуляров, опущенных из точки B (см. рис.). Тогда, воспользовавшись свойством угла между касательной и хордой, получим, что ∠MAB = ∠ANB, а ∠LAB = ∠AKB. Учитывая, что ∠MAK = 90° – ∠AKB, а ∠NAL = 90° – ∠ANB, получим, что ∠KAN = ∠KAM + ∠BAM + ∠BAL + ∠NAL = 180°, то есть точки K, A и N лежат на одной прямой.

Cлучай, когда точки K и N лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB, рассматривается аналогично.

Источники и прецеденты использования