Задача 116100

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Теорема синусов ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружность радиуса 3 проходит через вершину B , середины сторон AB и BC , а также касается стороны AC треугольника ABC . Угол BAC — острый, и sin BAC = . Найдите площадь треугольника ABC .

Решение

Пусть M и N — середины сторон BC и AB соответственно, K — точка касания описанной окружности треугольника BMN со стороной AC , O —центр окружности, R=3 — её радиус. Отрезок MN — средняя линия треугольника ABC , поэтому MN || AC , значит, BNM = BSC . По теореме синусов

BM=2R sin BNM = 2R sin BAC = 2· 3·= 2, BC=2BM = 4.
По теореме о касательной секущей
CK = = =2.

Пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из центра O окружности на прямую BC . Тогда P — середина BM , поэтому MP=BP=1 и CP=CM+MP = 2+1=3 . Из порямоугольного треугольника BOP находим, что
OP===2.

Прямоугольные треугольники OKC и CPO равны по двум катетам ( OK=CP=3 и CK=OP=2 ), поэтому COK = OCP , а т.к. KCO=90^o- COK , то OCP+ KCO = 90^o . Таким образом, треугольник ABC — прямоугольный. Тогда
AB= = =12, AC==8.
Следовательно,
S_{Δ ABC}=AC· BC = · 8 · 4 = 16.

Ответ

16 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6143