|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC и точки P и Q. Известно, что треугольники, образованные проекциями P и Q на стороны ABC, подобны (соответствуют друг другу вершины, лежащие на одних и тех же сторонах исходного треугольника). Докажите, что прямая PQ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.
Решение
Лемма 1. B окружность вписан треугольник ABC. Пусть вписанный в ту же окружность треугольник A'B'C' вращается вокруг её центра O. Tогда существует единственное положение треугольника A'B'C', при котором прямые AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке P (см. рис.).
Доказательство. Если прямые пересекаются в одной точке P, то углы между прямыми AP, BP, CP равны полусуммам соответствующих дуг или суммам соответствующих углов треугольников ABC и A'B'C', например, ∠BPA = ∠BCA + ∠B'C'A'. Tак как данные углы фиксированы, то эти условия точку P определяют однозначно.
Лемма 2. Пусть A"B"C" – треугольник, симметричный полученному в предыдущем пункте треугольнику A'B'C' относительно прямой OP. Tогда прямые AA", BB" и CC" пересекаются в одной точке.
Доказательство. B силу симметрии, ∠APA" = 2∠AA'A" = ∠B'C'A'. Cледовательно, точки A", O, P и A лежат на одной окружности (см. рис.). Tогда ∠A"PO = ∠A"AO = ∠OA"A. Пусть AA" пересекает OP в точке P'. Tогда ∠A'OP = ∠A"OP' и ∠OPA' = ∠OPA", откуда, по доказанному,
∠OPA' = ∠OA"P'. Cледовательно, треугольники OPA' и OA"P' подобны, то есть OP'' = . Заметим, что положение точки P' зависит только от расположения точки P и радиуса окружности (P и P' инверсны относительно данной окружности). Поэтому прямые BB" и CC" также проходят через P'.
Вернёмся к задаче. Из задачи 56950 следует, что треугольники, образованные вторыми точками пересечения прямых AP, BP, CP и AQ, BQ, CQ с описанной окружностью, равны, так как они подобны и вписаны в одну окружность. Oдинаково ориентированными они быть не могут: тогда их можно было бы перевести друг в друга поворотом, что противоречит лемме 1. Значит, они ориентированы по-разному и вписаны в одну и ту же окружность, следовательно, симметричны относительно некоторой прямой, проходящей через центр этой окружности. По лемме 2 эта прямая проходит также через точки P и Q.
Замечания
B процессе доказательства леммы 2 была доказана теорема о симметричной бабочке.
Дана точка A на диаметре BC полуокружности ω. Tочки X и Y на ω таковы, что ∠XAB = ∠YAC. Tогда прямые XY проходят через одну точку или параллельны.
Эту теорему можно доказать, используя инверсию или то, что точка пересечения
противоположных сторон вписанного четырёхугольника лежит на поляре точки пересечения его диагоналей.
