Задача 116164

Темы:    [ Четырехугольники (прочее) ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Углы между биссектрисами ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Фольклор

B выпуклом четырёхугольнике ABCD:  AC ⊥ BD,  ∠BCA = 10°,  ∠BDA = 20°,  ∠BAC = 40°.  Найдите ∠BDC.

Решение 1

  Пусть K и M – точки пересечения прямой CB с прямой AD и описанной окружностью треугольника ACD соответственно (см. рис.). Тогда
∠MDA = ∠MCA = 10°,  то есть DM – биссектриса угла KDB. Также заметим, что  ∠ABD = 50°,  ∠CBD = 80°,  значит  ∠KBA = 50°,  то есть BA – биссектриса угла KBD.
  Итак, I – точка пересечения биссектрис BA и DM – центр вписанной окружности треугольника KBD.  ∠BID = 120°,– поэтому  ∠BKD = 60°.  Значит, четырёхугольник KAIM – вписанный, причём KI – биссектриса угла AKM. Cледовательно,  ∠ACD = ∠AMD = ∠AMI = ∠AKI = 30°,  откуда  ∠BDC = 60°.

Решение 2

  Пусть P – точка пересечения AC и BD. Заметим, что     (см. задачу 61203). Cледовательно,  ∠BDC = ∠CPD = 60°.

Ответ

60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	09 (2011 год)
Дата	2011-04-10
класс
Класс	10-11 класс
задача
Номер	5