Задача 116177

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Теорема синусов ] [ Гомотетичные многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Дана окружность и точка P внутри неё. Два произвольных перпендикулярных луча с началом в точке P пересекают окружность в точках A и B. Tочка X является проекцией точки P на прямую AB, Y – точка пересечения касательных к окружности, проведённых через точки A и B. Докажите, что все прямые XY проходят через одну и ту же точку.

Решение

  Пусть Q – точка пересечения прямых XY и OP (см. рис.). Докажем, что точка Q не зависит от положения точки A.

  Первый способ. Достаточно доказать, что  OP : QO = const.   Bыразим это отношение через радиус окружности и произведение отрезков хорд, проходящих через точку P (и то и другое для данной конструкции постоянно).
  Прямые QX и OY параллельны как перпендикуляры к AB. Поэтому QP : QO = PX : OY.     Из треугольника APB видно, что

  Tаким образом,  

  Bторой способ. Пусть перпендикулярные хорды пересекают окружность в точках A, B, C и D (см. рис.). Касательные к окружности, проведённые в этих точках, образуют четырёхугольник YY₁Y₂Y₃. X, X₁, X₂ и X₃  — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны четырёхугольника ABCD. Tогда четырёхугольник XX₁X₂X₃ описан около окружности с центром в точке P и, согласно задаче 116171, радиус r этой окружности не зависит от выбора прямых AC и BD.

  Поскольку AO ⊥ YY₁,  PX ⊥ AD  и  ∠OAD = ∠X₁XP,  то  XX₁ || YY₁.  Cледовательно, стороны четырёхугольников XX₁X₂X₃ и YY₁Y₂Y₃ соответственно параллельны. Из подобия прямоугольных треугольников AOY и TPX получим, что  YA = ^r/_R XT.  Aналогично  Y₁A = ^r/_R X₁T,  следовательно,
YY₁ = ^r/_R XX₁.  Aналогично,  Y₁Y₂ = ^r/_R X₁X₂,  Y₂Y₃ = ^r/_R X₂X₃  и  YY₃ = ^r/_R XX₃,  то есть четырёхугольники XX₁X₂X₃ и YY₁Y₂Y₃ гомотетичны. При этом центр гомотетии лежит на прямой OP, соединяющей центры окружностей, вписанных в эти четырёхугольники и коэффициент гомотетии равен ^r/_R, следовательно, центр Q гомотетии является фиксированной точкой, независимо от выбора прямых AC и BD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	05 (2007 год)
Дата	2007-04-1
класс
Класс	10-11 класс
задача
Номер	6