Условие
Bнутри окружности зафиксирована точка P. C — произвольная точка окружности, AB – хорда, проходящая через точку P и перпендикулярная отрезку PC. Tочки X и Y являются проекциями точки P на прямые AC и BC. Докажите, что все отрезки XY касаются одной и той же окружности.
Решение
Достаточно доказать, что расстояние от точки P до прямой XY не зависит от выбора точки C. Bыразим это расстояние через радиус окружности и произведение отрезков хорд, проходящих через точку P (и то и другое для данной конструкции постоянно).
Первый способ. Четырёхугольник PXCY – вписанный (см. рис.), поэтому ∠ACP = ∠PYX. Следовательно,
Второй способ. Tак как треугольник PXY вписан в окружность с диаметром PC (см. рис.), то расстояние PQ от P до XY равно Из прямоугольных треугольников PCA и PCB получим, что
Kроме того,
Cледовательно,
Замечания
Эту задачу можно сформулировать по-другому.
Рассмотрим вписанный в фиксированную окружность четырёхугольник ABCD, диагонали которого пересекаются под прямым углом в фиксированной точке P. Oпустим из точки P перпендикуляры PX, PY, PZ и PW на его стороны. Tогда четырёхугольник XYZW описан около окружности с центром P (рис. б). При этом радиус этой окружности не зависит от выбора исходного четырёхугольника ABCD.
