ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116186
Темы:    [ Векторы помогают решить задачу ]
[ Неравенства с векторами ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Параллелограммы (прочее) ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC на стороне AB выбраны точки K и L так, что AK = BL, а на стороне BC — точки M и N так, что CN = BM. Докажите, что KN + LMAC.


Решение

Первый способ. Рассмотрим для определенности конфигурацию, изображенную на рис. а. Тогда

Поскольку , а , то сложив равенства (2) и (3), получим, что , следовательно, . Заметим, что при таком решении не существенно, как расположены точки K, L, M и N.

Рис. а Рис. б Рис. в

Второй способ. Пусть точка X такова, что BNXL — параллелограмм (см. рис. б). Тогда NX параллелен и равен BL, а значит, и AK; аналогично LX параллелен и равен CM. Отсюда CMLX и AKNX — параллелограммы, поэтому LM + KN = CX + AXAC.

Третий способ. Рассмотрим для определенности конфигурацию, изображенную на рис. в. Cпроектируем точки K, L, M и N на прямую AC. Проведем перпендикуляры KE и MF к прямым NN' и LL' соответственно.

Пусть ∠A = α, ∠C = γ, AK = BL = x, CN = BM = y. Тогда AK' = x cos α , CN' = y cos γ, L'M' = MF = x cos α + y cos γ = AK' + CN'.

Тогда KNKE, LMMF, следовательно, KN + LMKE + MF = K'N' + L'M' = K'N' + AK' + CN' = AC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 03 (2005 год)
Дата 2005-04-3
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .