ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116189
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть A1, B1, C1 – середины сторон треугольника ABC, I – центр вписанной в него окружности, C2 – точка пересечения прямых C1I и A1B1, C3 – точка пересечения прямых CC2 и AB. Докажите, что прямая IC3 перпендикулярна прямой AB.


Решение 1

  Утверждение задачи означает, что C3 – точка касания стороны AB с окружностью, вписанной в ABC (рис. слева). Так как треугольники ABC и A1B1C гомотетичны, то утверждение задачи равносильно тому, что C2 – точка касания A1B1 и окружности, вписанной в треугольник A1B1C, то есть     где a, b, c – стороны треугольника ABC, а p – его полупериметр.

           
  Так как треугольник A1B1C1 подобен треугольнику ABC с коэффициентом ½, то высота B1H треугольника A1B1C1 (а, следовательно, и расстояние между прямыми A1C1 и AC) в два раза меньше высоты hb треугольника ABC (рис. справа). Cледовательно, расстояние от точки I до прямой A1C1 равно
½ hb – r.  Аналогично расстояние от точки I до прямой B1C1 равно  ½ ha – r.
  Cледовательно,  

Решение 2

  Пусть T и T' – точки касания вписанной ω и вневписанной ω' окружностей со стороной AB, K – точка вписанной окружности, диаметрально противоположная T (см. рис.). При гомотетии с центром C, переводящей ω в ω', K переходит в T', поэтому C, K и T' лежат на одной прямой.

  Как известно,  AT' = BT  (см. задачу 55404). Поэтому C1T = C1T'  и в треугольнике KT'T отрезок C1I является средней линией. Обозначим через M точку пересечения прямой C1I с высотой треугольника ABC, опущенной из точки C. Тогда CKIM – параллелограмм, поэтому  CM = KI = IT.  Значит, I и M равноудалены от средней линии A1B1, то есть C2 является серединой отрезка IM.
  Cледовательно, точки C и T симметричны относительно C2, то есть C, C2 и T лежат на одной прямой, поэтому точка T совпадает с точкой C3, что и требовалось.

Замечания

Заметим, что C2 – точка касания A1B1 с вневписанной окружностью треугольника A1B1C1, касающейся стороны A1B1. Для произвольного треугольника существуют три вневписанных окружности, причём отрезки, соединяющие точки их касания с соответствующими сторонами и противоположные вершины, пересекаются в одной точке N, которая называется точкой Нагеля. Можно показать, что точка Нагеля, центр вписанной окружности I и центр тяжести M лежат на одной прямой, причём  MN = 2IM  (см. рис.). Утверждение задачи является следствием этого факта.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 03 (2005 год)
Дата 2005-04-3
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .