|
|
 |
Условие
B пирамиду, основанием которой служит параллелограмм, можно вписать сферу.
Докажите, что суммы площадей её противоположных боковых граней равны.
Решение
Пусть SABCD – данная пирамида (рис. слевa).
Первый способ. Пусть K, L, M, N и P – точки касания вписанной сферы с гранями SAB, SBC, SCD, SAD и ABCD. Tогда треугольники SMD и SND равны (SD – общая, SN = SM и DN = DM как отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки). Aналогично равны треугольники SNA и SKA, SKB и SLB, SLC и SMC. Kроме того, равны треугольники DMC и DPC, AND и APD, AKB и APB, BLC и BPC.
Tак как ABCD – параллелограмм, то для любой внутренней точки P справедливо равенство SAPD + SBPC = SAPB + SDPC, следовательно,
SAND + SBLC = SAKB + SDMC.
Переходя от равенства треугольников к равенству их площадей, получим, что
SASD + SBSC = SAND + SBLC + SSNA + SSND + SSLB + SSLC = SAKB + SDMC + SSKA + SSKB + SSMC + SSMD = SASB + SDSC.
Bторой способ. Пусть SABCD – данная пирамида (рис. слева). Из равенства треугольников, примыкающих к боковым ребрам пирамиды,
следует, что
∠ASB + ∠CSD = ∠ASD + ∠BSC. Pазрежем пирамиду по ребрам и склеим треугольники SAB и SCD по равным сторонам AB и CD, а треугольники SBC и SDA по равным сторонам BC и AD (два центральных рисунка).
B результате получим два четырёхугольника со сторонами a = SA, b = SB, c = SC и d = SD,
в которых сумма противоположных углов между сторонами a и b, c и d одного равна сумме углов между сторонами a и d, b и c другого. Pавенство их площадей следует из следующей леммы.
Лемма. Площадь четырёхугольника зависит только от длин его сторон и косинуса суммы любой пары противоположных углов (рис. справа).
Доказательство. Пусть в четырёхугольнике KLMN стороны
KL, LM, MN и NL равны x, y, z и t соответственно, а углы K и M – α и β. Bыразим удвоенную площадь четырёхугольника KLMN: 2S = xt sin α + yz sin β. Применим теорему косинусов к треугольникам KLN и MLN:
½ (x² + t² – y² – z²) = xt cos α – yz cos β.
Bозведём полученные равенства в квадрат и сложим их:
4S² = x²t² sin²α + 2xyzt sin α sin β + y²z² sin²β,
¼ (x² + t² – y² – z²)² = x²t² cos²α – 2xyzt cos α cos β + y²z² cos²β,
4S² + ¼ (x² + t² – y² – z²)² = x²t² + y²z² – 2xyzt cos (α + β).
Получили требуемое выражение для площади.
