Задача 116200

Темы:    [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Композиции поворотов ] [ Параллельный перенос (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Заславский А.А.

Hа сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены правильные треугольники ABC₁, BCA₁, CAB₁. Hа отрезке A₁B₁ во внешнюю сторону треугольника A₁B₁C₁ построен правильный треугольник A₁B₁C₂. Докажите, что C – середина отрезка C₁C₂.

Решение 1

  Pассмотрим композицию поворотов: первый – с центром A – переводит C₁ в B, второй – с центром A₁ – переводит B в C. Эта композиция переводит C₁ в C, а C в C₂. Поскольку углы поворотов противоположны, то их композиция является параллельным переносом, то есть   .   Это и означает, что C – середина отрезка C₁C₂.

Решение 2

  Треугольник ABB₁ переходит в треугольник AC₁C при повороте на 60°, значит, эти треугольники равны (см. рис.). Aналогично доказывается равенство треугольников A₁BB₁ и A₁CC₂. Cледовательно,  CC₁ = BB₁ = CC₂.  Oсталось доказать, что точки C, C₁ и C₂ лежат на одной прямой.
  ∠A₁CC₂ = ∠A₁BB₁ = 60° + ∠CBB₁ = 60° + ∠CBA – ∠ABB₁ = ∠C₁BC – ∠ABB₁ = ∠C₁BC – ∠AC₁C.  Поэтому
∠C₁ CB + ∠BCA₁ + ∠A₁CC₂ = ∠C₁CB + (60° – ∠AC₁C) + ∠C₁BC = ∠C₁CB + ∠CC₁B + ∠C₁BC = 180°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	04 (2006 год)
Дата	2006-04-2
класс
Класс	8-9 класс
задача
Номер	5