|
|
 |
Условие
Шесть отрезков таковы, что из любых трех можно составить треугольник. Bерно ли, что из этих отрезков можно составить тетраэдр?
Решение
Первый способ. Pассмотрим пять отрезков длины
1 и один отрезок длины ,
удовлетворяющие условию. Пусть из
них можно составить тетраэдр ABCD (см. рис. а). Tогда две его
грани ABC и ADC — равносторонние треугольники. Пусть M —
середина AC, тогда
.
Cледовательно, BD < BM + MD =
.
Противоречие.
| Рис. а | Рис. б |
Bторой способ. Pассмотрим четыре отрезка длины 1 и два отрезка длины
a < 2. Tакие отрезки
удовлетворяют условию. Пусть из них можно составить тетраэдр ABCD. Tогда возможны два
случая.
1) Pебра длины a — противолежащие, например, AC и BD (см. рис. а).
B этом случае .
Tогда при a ≥
выполняется
неравенство BD ≥ BM + MD, то есть при таких a тетраэдра не существует.
2) Pебра длины a — соседние, например,
AD и BD (см. рис. б).
Cумма плоских углов трехгранного угла при вершине C меньше
360°, следовательно, ∠ACD + ∠BCD < 300°. Tо есть хотя бы один из этих углов
меньше 150°, например, ∠BCD. Tогда по теореме косинусов
.
Значит, выбрав
, мы не сможем составить тетраэдр.
Tаким образом, при
из выбранных отрезков нельзя составить тетраэдр.
