ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116246
Темы:    [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Площадь многоугольника ]
[ Правильные многоугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах правильного 2009-угольника отметили по точке. Эти точки являются вершинами 2009-угольника площади S. Каждую из отмеченных точек отразили относительно середины стороны, на которой эта точка лежит. Докажите, что 2009-угольник с вершинами в отражённых точках также имеет площадь S.


Решение

Пусть A1A2...A2009 – правильный 2009-угольник со стороной 1, φ – его угол, P – периметр, M – 2009-угольник площади S, ai – расстояние от Ai до ближайшей по часовой стрелке отмеченной вершины  (i = 1, ..., 2009).  Сторона многоугольника M отсекает от угла Ai правильного 2009-угольника треугольник площади  0,5sin φ (1 – ai–1)ai.  Суммируя отсеченные площади, получаем  0,5 sin φ ((a1 + a2 + ... + a2009) – (a1a2 + a2a3 + ... + a2009a1)).  После отражения сторона нового 2009-угольника отсекает от угла Ai треугольник площади  0,5 sin φ ai–1(1 – ai).  Суммируя отсечённые площади, получаем тот же результат.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .