Задача 116246

Темы:    [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Площадь многоугольника ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Кожевников П.А.

На сторонах правильного 2009-угольника отметили по точке. Эти точки являются вершинами 2009-угольника площади S. Каждую из отмеченных точек отразили относительно середины стороны, на которой эта точка лежит. Докажите, что 2009-угольник с вершинами в отражённых точках также имеет площадь S.

Решение

Пусть A₁A₂...A₂₀₀₉ – правильный 2009-угольник со стороной 1, φ – его угол, P – периметр, M – 2009-угольник площади S, a_i – расстояние от A_i до ближайшей по часовой стрелке отмеченной вершины  (i = 1, ..., 2009).  Сторона многоугольника M отсекает от угла A_i правильного 2009-угольника треугольник площади  0,5sin φ (1 – a_i–1)a_i.  Суммируя отсеченные площади, получаем  0,5 sin φ ((a₁ + a₂ + ... + a₂₀₀₉) – (a₁a₂ + a₂a₃ + ... + a₂₀₀₉a₁)).  После отражения сторона нового 2009-угольника отсекает от угла A_i треугольник площади  0,5 sin φ a_i–1(1 – a_i).  Суммируя отсечённые площади, получаем тот же результат.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2009/2010
Номер	31
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	4