Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Отрезок KB является биссектрисой треугольника KLM .
Окружность радиуса 5 проходит через вершину K ,
касается стороны LM в точке B и пересекает сторону
KL в точке A . Найдите угол MKL и площадь
треугольника KLM , если ML=9 , KA:LB=5:6 .
Два бегуна стартовали одновременно из одной точки. Сначала они бежали по улице до стадиона, а потом до финиша – три круга по стадиону. Всю дистанцию оба бежали с постоянными скоростями, и в ходе забега первый бегун дважды обогнал второго. Докажите, что первый бежал по крайней мере вдвое быстрее, чем второй.
Дан треугольник ABC. Точки A1, B1 и
C1 – середины сторон BC, AC и AB соответственно.
На продолжении отрезка C1B1 отложен отрезок B1K
по длине равный .
Известно, AA1 = BC. Докажите, что AB = BK.
От балки в форме треугольной призмы с двух сторон отпилили (плоской пилой) по куску. Спилы не задели ни оснований, ни друг друга.
а) Могут ли спилы быть подобными, но не равными треугольниками?
б) Может ли один спил быть равносторонним треугольником со стороной 1, а другой – равносторонним треугольником со стороной 2?
|
|
 |
Условие
От балки в форме треугольной призмы с двух сторон отпилили (плоской пилой) по куску. Спилы не задели ни оснований, ни друг друга.
а) Могут ли спилы быть подобными, но не равными треугольниками?
б) Может ли один спил быть равносторонним треугольником со стороной 1, а другой – равносторонним треугольником со стороной 2?
Решение
а) Возьмём неравносторонний треугольник T и выберем в нём две различные стороны a и b. Возьмём также треугольник U, подобный T с коэффициентом a/b. Приставим их друг к другу сторонами длины a так, чтобы они не лежали в одной плоскости. Две свободные вершины этих треугольников задают направление бокового ребра призмы, которое сделаем достаточно большим, чтобы призма имела непересекающиеся сечения, равные T и U.
б) Предположим, что такие спилы получились. Расстояния между боковыми рёбрами призмы не превышают длины стороны треугольника,
соединяющей точки на этих рёбрах, то есть не больше 1. Будем считать, что
боковые рёбра идут вертикально. Проведём через вершины большего спила
три горизонтальные плоскости. Пусть вторая плоскость лежит между первой и третьей, и расстояния от неё до двух других равны a и b. Тогда стороны большого треугольника станут диагоналями прямоугольников ширины, равной расстоянию между соответствующими боковыми ребрами, а их высоты равны a, b и a + b. Но если ширина прямоугольника с высотой a не больше 1, а длина диагонали равна 2, то a ≥ . Аналогично b ≥
. Но тогда высота третьего прямоугольника a + b ≥ 2
> 2, тем более его диагональ больше 2. Противоречие.
Ответ
а) Могут. б) Это невозможно.
Замечания
баллы: 3 + 4
