Задача 116310

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Отрезок KB является биссектрисой треугольника KLM . Окружность радиуса 5 проходит через вершину K , касается стороны LM в точке B и пересекает сторону KL в точке A . Найдите угол MKL и площадь треугольника KLM , если ML=9 , KA:LB=5:6 .

Решение

Пусть окружность пересекает сторону KM в точке C . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

ABL = AKB = BKC = BAC,
значит, AC || ML .
Положим AK=5a , BL=6a . По теореме о касательной и секущей BL2=LA· LK , или 36a2=LA(LA+5a) , откуда находим, что LA=4a , а т.к. AC || ML , то
== =, AC=· ML=· 9=5.
Пусть R=5 — радиус окружности, о которой говорится в условии задачи. Эта окружность описана около треугольника AKC , поэтому
sin AKC = ==,
значит, MKL = AKC = 60^o или MKL= AKC = 120^o .
Второй случай невозможен, т.к. тогда градусная мера дуги ABC равна 240^o , и поэтому расстояние от точки K до прямой AC меньше расстояния от точки B до этой прямой. В то же время, отношение этих расстояний равно = . Следовательно, MKL = 60^o .
Положим KC=5b , CM=4b . По теореме о касательной и секущей
BM = ==6b,
значит, ML=LB+MB = 6a+6b . По теореме косинусов
ML2=KM2+KL2-2KM· KL cos 60^o, (6a+6b)2=81b2+81a2-81ab,

4(a+b)2=9(a2+b2)-9ab, 5(a2+b2)-17ab=0, 5(a+b)2-27ab=0, 27ab=5(a+b)2,
а т.к.
a+b=ML=· 9=,
то
27ab=5· ()2=, ab=.
Следовательно,
S_{Δ KLM}=· 9a· 9b· sin 60^o= == .

Ответ

60^o , .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6156