Условие
Перпендикуляры, опущенные из внутренней точки равностороннего
треугольника, на его стороны, и отрезки, соединяющие эту
точку с вершинами, разбивают треугольник на шесть прямоугольных
треугольников. Докажите, что сумма площадей трёх из них, взятых через
один, равна сумме площадей трёх остальных.
Решение
Пусть
A1
,
B1
и
C1
— основания перпендикуляров,
опущенных из внутренней точки
O равностороннего треугольника
ABC на его стороны
BC ,
AC и
AB соответственно.
Через точку
O проведём прямые, соответственно параллельные
сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник
ABC
на три равносторонних треугольника и три параллелограмма. Отрезки
OA ,
OB и
OC — диагонали параллелограммов, значит, они
разбивают параллелограммы на равные треугольники. Отрезки
OA1
,
OB1
и
OC1
— высоты соответствующих равносторонних
треугольников, значит, они также разбивают эти треугольники на
равные треугольники. Отсюда следует решение задачи.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6134 |
