Условие
Середина каждой стороны параллелограмма соединена с
концами противоположной стороны. Найдите площадь восьмиугольника,
образованного пересечениями проведённых отрезков, если площадь
параллелограмма равна 1.
Решение
Пусть
K ,
L ,
M и
N — середины сторон соответственно
AB ,
BC ,
CD и
AD параллелограмма
ABCD площади 1,
O — центр
параллелограмма. Тогда площадь параллелограмма
KBLO равна
, а площадь треугольника
KLO равна
.
Пусть прямые
AL и
BN пересекаются в точке
P , прямые
BM и
CK — в точке
Q , а прямые
AL и
CK — в точке
H .
Тогда
P ,
H и
Q — три последовательные вершины восьмиугольника,
о котором говорится в условии задачи. При этом
P — середина стороны
KO треугольника
KLO ,
Q — середина стороны
LO , а
H —
точка пересечения медиан
LP и
KQ этого треугольника, поэтому
площадь четырёхугольника
OPHQ равна трети площади треугольника
KLO , т.е.
· = 
.
Осталось заметить, что площадь восьмиугольника в четыре раза больше
площади четырёхугольника
OPHQ , а значит, равна
4
· =
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6137 |
