Задача 116304

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке A , а третьей окружности — в точках B и C . Продолжение хорды AB первой окружности пересекает вторую окружность в точке D , продолжение хорды AC пересекает первую окружность в точке E , а продолжения хорд BE и CD — третью окружность в точках F и G соответственно. Найдите BG , если BC=5 и BF=12 .

Решение

Пусть S1 , S2 и S3 — первая, вторая и третья окружности соответственно. Проведём через точки A , B и C общие касательные l_a , l_b , l_c к окружностям S1 и S2 , S1 и S3 , S2 и S3 соответственно. Тогда касательные l_a и l_b образуют равные углы с хордой AB . Обозначим эти углы через γ . Аналогично, равные углы, которые образуют касательные l_a и l_c с хордой AC , обозначим через β , а равные углы, которые образуют касательные l_b и l_c с хордой BC , — через α . Тогда сумма 2α+2β+ 2γ — это сумма углов треугольника ABC , поэтому α+β+γ=90^o .
На касательной l_a отметим точку P внутри угла DAE и точку Q внутри угла BAC . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

BEC = BEA = BAQ = PAD = ACD = ECD,
значит, BE || CD , а т.к.
BCD = ACB+ ACD= α+β + γ = 90^o,
то BCG = 90^o , поэтому четырёхугольник BCGF — прямоугольник. Следовательно,
BG = ===13.

Ответ

13.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6150