ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116306
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки A, B и C лежат на одной прямой. Отрезок AB является диаметром первой окружности, а отрезок BC – диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку A, пересекает первую окружность в точке D и касается второй окружности в точке E,  BD = 9,  BE = 12.  Найдите радиусы окружностей.


Решение

  Пусть O1 и O2 – центры первой и второй окружностей соответственно, R1 и R2 – их радиусы. С точностью до симметрии возможны три случая расположения точек A, B и C на прямой.
  1) Точка A лежит между точками B и C. Тогда A находится внутри второй окружности, и не существует прямой, проходящей через A и касающейся второй окружности.
  2) Точка B лежит между точками A и C. Тогда  ∠BEC = ∠AEO2 = 90°,  ∠ DEB = ∠ECB.  Треугольники BEC и BDE подобны по двум углам, поэтому
BC : BE = BE : BD,  откуда  2R2 = BC = BE²/BD = 16.
  Отрезки BD и EO2 параллельны, поэтому  BD < EO2,  а так как  BD = 9  и  EO2 = R2 = 8,  то этот случай невозможен.
  3) Точка C лежит между точками A и B. Аналогично предыдущему получаем, что  R2 = 8.  Треугольники ADB и AEO2 подобны по двум углам, поэтому
AO2 : AB = EO2 : DB,  или  (2R1 – 8) : 2R1 = 8 : 9,  откуда  R1 = 36.


Ответ

36 и 8.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6152

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .