Задача 116312

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точки A , B и C лежат на окружности радиуса 2 с центром O , а точка K — на прямой, касающейся этой окружности в точке B , причём AKC = 46^o , а длины отрезков AK , BK и CK образуют возрастающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол AKO и расстояние между точками A и C . Какой из углов больше: ACK или AOK ?

Решение

Из неравенства AK<BK<CK следует, что отрезок CK пересекает окружность в некоторой точке N , а продолжение отрезка AK пересекает окружность в некоторой точке M . Обозначим AK=x , BK=y , CK=z . Числа x , y и z в указанном порядке образуют геометричекую прогрессию, поэтому y2=xz . С другой стороны, по теореме о касательной и секущей y2=BK2=x· KM = z· KN , поэтому x· KM=xz и z· KN =xz , откуда находим KM=z=KC и KN =x=KA .
Треугольники KOM и KOC равны по трём сторонам, поэтому KO — биссектриса угла CKA , следовательно,

AKO= AKC = 23^o.

Из равнобедренного треугольника KCM находим, что
AMC = 90^o- AKC = 90^o-23^o= 67^o.
Пусть R=2 — радиус данной окружности. По теореме синусов
AC=2R sin AMC = 2· 2 sin 67^o=4 sin 67^o.

В четырёхугольнике AOCK известно, что
AOC + AKC = 2· AMC + AKC= 2· 67^o+46^o=180^o,
значит, точки A , O , C и K лежат на одной окружности. Следовательно, ACK = AOK .

Ответ

23^o , 4 sin 67^o ; одинаковы.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6158