Задача 116319
|
|
 |
Условие
Точка O расположена в сечении ACC'A' прямоугольного параллелепипеда
ABCDA'B'C'D' размером 2× 3× 6
так, что OCB +
OCD +
OCC' = 180o .
Сфера с центром в точке O касается плоскостей A'B'C' , CC'D и не
имеет общих точек с плоскостью BB'C . Найдите расстояние от точки
O до этой плоскости.
Решение
Обозначим OCB =α ,
OCD=β ,
OCC'= γ .
По условию задачи α+β+γ=180o .
Отложим на луче CO отрезок CE=1 . Тогда проекции точки
E на прямые CB , CD и CC' равны cos α , cos β
и cos γ соответственно. По теореме о квадрате диагонали
прямоугольного параллелепипеда cos2 α+ cos2 β+
cos2 γ=1 , а т.к. γ = 180o-α-β , то
Следовательно, либо γ = 90o , либо β = 90o , либо cos α=90o .
Если β = 90o , то точка O лежит в плоскости BB'C , что невозможно, т.к. сфера с центром O не имеет общих точек с этой плоскостью. Если α = 90o , то точка O лежит в плоскости CC'D , что также невозможно, т.к. сфера с центром O касается этой плоскости. Значит, γ = 90o , поэтому точка O лежит в плоскости ABCD , а значит, — на прямой AC пересечения плоскостей AA'C'C и ABCD .
По условию задачи точка O лежит в сечении AA'C'C , значит, она расположена на отрезке AC . Сфера с центром O , лежащим в плоскости ABC , касается плоскостей A'B'C'D' и CC'D , поэтому её радиус равен длине ребра CC' и меньше длины ребра AB , а т.к. сфера не имеет общих точек с гранью BB'C , то её радиус r меньше длины ребра AB . Следовательно, CC' — наименьшее ребро параллелепипеда, т.е. r=CC'=2 .
Расстояние от центра сферы до плоскости BB'C равно расстоянию то точки O , лежащей на диагонали AC прямоугольника ABCD , до стороны BC , поэтому CD>BC . Значит, CD = 6 и BC=3 . Пусть H — проекция точки O на сторону CD . Тогда искомое расстояние равно длине отрезка CH . Из подобия прямоугольных треугольников COH и CAD находим, что
Ответ
4.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 7322 |
