ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116338
Темы:    [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки подобия ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Центр масс ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC расположены точки M и N соответственно, причём  AM : MB = 3 : 5,  BN : NC = 1 : 4.  Прямые CM и AN пересекаются в точке O. Найдите отношения  OA : ON  и  OM : OC.


Подсказка

Проведите через вершину A прямую, параллельную стороне BC, и рассмотрите две пары подобных треугольников.


Решение 1

  Через точку A проведём прямую, параллельную BC. Пусть T – точка её пересечения с прямой MC. Положим  BN = a,  CN = 4a.
  Из подобия треугольников AMT и BMC (коэффициент ⅗) находим, что  AT = ⅗ BC = ⅗ (BN + NC) = ⅗ (a + 4a) = 3a,  а из подобия треугольников AOT и NOC –  OA : ON = AT : CN = 3 : 4.
  Аналогично находим, что  OM : OC = 3 : 32.


Решение 2

  Через точку N проведём прямую, параллельную CM, до пересечения с прямой AB в точке K. Тогда  MK : KB = CN : NB = 4 : 1,  откуда
AO : ON = AM : MK = 3 : 4.
  Аналогично находим  OM : OC.


Решение 3

  Разместим в точках A, B, C массы 20, 12, 3 соответственно. Тогда центр масс точек A и B находится в точке M, а центр масс точек B и C – в точке N. Следовательно, центр масс точек A, B, C находится на пересечении отрезков CM и AN, то есть в точке O. Отсюда  OA : ON = (12 + 3) : 20 = 3 : 4,
OM : OC = 3 : (12 + 20) = 3 : 32.


Ответ

3 : 4;  3 : 32.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2916

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .