|
|
 |
Условие
На сторонах AB и BC треугольника ABC расположены точки M и N соответственно, причём AM : MB = 3 : 5, BN : NC = 1 : 4. Прямые CM и AN пересекаются в точке O. Найдите отношения OA : ON и OM : OC.
Подсказка
Проведите через вершину A прямую, параллельную стороне BC, и рассмотрите две пары подобных треугольников.
Решение 1
Через точку A проведём прямую, параллельную BC. Пусть T – точка её пересечения с прямой MC. Положим BN = a, CN = 4a.
Из подобия треугольников AMT и BMC (коэффициент ⅗) находим, что AT = ⅗ BC = ⅗ (BN + NC) = ⅗ (a + 4a) = 3a, а из подобия треугольников AOT и NOC – OA : ON = AT : CN = 3 : 4.
Аналогично находим, что OM : OC = 3 : 32.
Решение 2
Через точку N проведём прямую, параллельную CM, до пересечения с прямой AB в точке K. Тогда MK : KB = CN : NB = 4 : 1, откуда
AO : ON = AM : MK = 3 : 4.
Аналогично находим OM : OC.
Решение 3
Разместим в точках A, B, C массы 20, 12, 3 соответственно. Тогда центр масс точек A и B находится в точке M, а центр масс точек B и C – в точке N. Следовательно, центр масс точек A, B, C находится на пересечении отрезков CM и AN, то есть в точке O. Отсюда OA : ON = (12 + 3) : 20 = 3 : 4,
OM : OC = 3 : (12 + 20) = 3 : 32.
Ответ
3 : 4; 3 : 32.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2916 |
