Задача 116342

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Условие

Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 10. Найдите радиус окружности, описанной около исходного треугольника.

Решение

Пусть H – точка пересечения высот AA₁, BB₁, CC₁ треугольника ABC, ∠A₁C₁B₁ = 90°, A₁B₁ = 10; A₂, B₂, C₂ – точки пересечения продолжений высот соответственно AA₁, BB₁, CC₁ с окружностью, описанной около треугольника ABC. Тогда A₁, B₁, C₁ – середины отрезков HA₂, HB₂, HC₂. Значит, A₁B₁, B₁C₁, A₁C₁ – средние линии треугольников A₂HB₂, B₂HC₂, A₂HC₂, поэтому стороны треугольника A₂B₂C₂ соответственно параллельны сторонами треугольника A₁B₁C₁, причём A₂B₂ = 2A₁B₁, A₂C₂ = 2A₁C₁, B₂C₂ = 2B₁C₁. Следовательно, треугольник A₂B₂C₂ также прямоугольный и его гипотенуза A₂B₂ вдвое больше A₁B₁, т.е равна 20. Следовательно, радиус окружности, описанной около треугольника A₂B₂C₂ (а значит, и около треугольника ABC), равен 10.

Ответ

10.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2920