|
|
 |
Условие
Три окружности с центрами A, B и C, касающиеся друг друга и прямой l, расположены так, как показано на рисунке. Пусть a, b и c – радиусы окружностей с центрами A, B и C соответственно. Докажите, что .
Решение
Пусть M, N и K – точки касания с прямой l окружностей с центрами A, B и С cоответственно.
Поскольку линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, расстояние между центрами A и C равно сумме радиусов этих окружностей, т.е. AC = a + c. Пусть F – проекция точки C на радиус AM окружности с центром A, проведённый в точку касания с прямой l. Тогда четырёхугольник CKMF – прямоугольник, поэтому KM = CF. Из прямоугольного треугольника AFC находим, что
Следовательно, .
Аналогично,
и
.
Точка K лежит между M и N, поэтому MN = KN + KM, или
.
Разделив обе части этого равенства на
,
получим, что
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2924 |
