|
|
 |
Условие
Точки M и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причём AM : MB = 1 : 2, AN : NC = 3 : 2. Прямая MN пересекает продолжение стороны BC в точке F. Найдите CF : BC.
Подсказка
Проведите через вершину A прямую, параллельную стороне BC, и рассмотрите две пары подобных треугольников.
Решение 1
Через точку A проведём прямую, параллельную BC. Пусть T – точка её пересечения с прямой MN. Обозначим CF = a.
Из подобия треугольников ANT и CNF (коэффициент 1,5) находим, что AT = 1,5CF = 1,5a, а из подобия треугольников AMT и BMF (коэффициент 0,5) – BF = 2AT = 3a. Тогда BC = BF – CF = 2a. Следовательно, CF : BC = a : 2a.
Решение 2
Разместим в точках A, B, F массы 2, 1, m так, чтобы центр масс точек A, B, F оказался в точке N. Тогда центр масс точек A и B находится в точке M, а центр масс точек B и F находится на пересечении прямых BF и AN, то есть в точке C. Значит, 1 + m = 3, то есть m = 2. Отсюда FC : BC = 1:2.
Ответ
1 : 2.
Замечания
Разумеется, ответ сразу можно получить из теоремы Менелая.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2928 |
