Задача 116373

Темы:    [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Корни. Степень с рациональным показателем (прочее) ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Целые числа m и n таковы, что сумма     целая. Верно ли, что оба слагаемых целые?

Решение

  Пусть    ,   то есть     Возведём обе части в куб:     то есть

  Так как  3k² + n > 0,  последнее равенство равносильно тому, что    . Таким образом,     – число рациональное, а значит, и целое. Но тогда и число     – целое.

Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2011
задача
Номер	7