Задача 116389
|
|
 |
Условие
Известно, что 0 < a, b, c, d < 1 и abcd = (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d). Докажите, что (a + b + c + d) – (a + c)(b + d) ≥ 1.
Решение
Произведение положительных чисел ac и bd равно произведению положительных чисел (1 – a)(1 – c) и (1 – b)(1 – d). Поэтому либо
ac ≥ (1 – a)(1 – c), bd ≤
(1 – b)(1 – d), либо ac ≤ (1 – a)(1 – c), bd ≥
(1 – b)(1 – d).
Разберём первый случай. Раскрыв скобки и приведя подобные, получим 1 – (a + c) ≤ 0, 1 – (b + d) ≥ 0, следовательно,
1 – (a + c) – (b + d) + (a + c)(b + d) = (1 – (a + c))(1 – (b + d)) ≤ 0. Последнее неравенство равносильно тому, что надо доказать.
