ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 116391  (#1)

Темы:   [ Системы точек ]
[ Геометрические неравенства (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Петя отметил на плоскости несколько (больше двух) точек, все расстояния между которыми различны. Пару отмеченных точек  (A, B)  назовём необычной, если A – самая дальняя от B отмеченная точка, а B – ближайшая к A отмеченная точка (не считая самой точки A). Какое наибольшее возможное количество необычных пар могло получиться у Пети?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116397  (#7)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116389  (#2)

Тема:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Известно, что  0 < a, b, c, d < 1  и  abcd = (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d).  Докажите, что   (a + b + c + d) – (a + c)(b + d) ≥ 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116393  (#3)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Фольклор

В треугольнике ABC точки A1, B1, C1 – основания высот из вершин A, B, C, точки CА и CВ – проекции C1 на AC и BC соответственно.
Докажите, что прямая CАCВ делит пополам отрезки C1A1 и C1B1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116394  (#4)

Темы:   [ Многоугольники (прочее) ]
[ Кривые второго порядка ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Общие четырехугольники ]
[ Доказательство от противного ]
[ Против большей стороны лежит больший угол ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Существует ли выпуклый N-угольник, все стороны которого равны, а все вершины лежат на параболе  y = x²,  если
  а)  N = 2011;
  б)  N = 2012?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .