|
|
 |
Условие
Существует ли выпуклый N-угольник, все стороны которого равны, а все вершины лежат на параболе y = x², если
а) N = 2011;
б) N = 2012?
Решение
а) Пусть O – вершина параболы. Отложим на правой ветви 1005 равных хорд OA1, A1A2, A2A3, ..., A1004A1005 длины t. Рассмотрим ломаную OB1B2...B1005,
симметричную OA1A2...A1005 относительно оси параболы. Очевидно, длина l(t) отрезка B1005A1005 непрерывно зависит от t. При B1A1 = 2 > t, тем более l(t) > t. При t = 4020 ордината точки A1005 меньше 1005·4020 = 2010², значит, её абсцисса меньше 2010, и l(t) < 2·2010 = t. По теореме о промежуточном значении найдётся t, при котором l(t) = t. В этом случае многоугольник OA1A2...A1005B1005...B1 равносторонний.
б) Лемма. Если в выпуклом четырёхугольнике две противоположные стороны равны, то в другой паре противоположных сторон меньше та, сумма углов при которой больше.
Доказательство. Пусть в четырёхугольнике ABCD сумма углов A и B больше 180° и AD = BC. Построим параллелограмм ABCE. Треугольник CAD получается из треугольника CAE увеличением угла A, поэтому CD > CE = AD.
Следствие. Пусть четырёхугольник ABCD вписан в параболу, AD = BC, а точки A и B лежат на дуге CD параболы. Тогда CD > AB.
Доказательство. Ясно, что четырёхугольник ABCD – часть сегмента параболы, отсечённого хордой CD. Пусть касательные к параболе в точках C и D пересекаются в точке M. Треугольник CMD содержит упомянутый сегмент, а, значит, и четырёхугольник ABCD. Поэтому
∠BCD + ∠ADC < ∠MCD + ∠MDC < 180°.
Решение задачи. Пусть нашёлся такой 2012-угольник.
Занумеруем его вершины в порядке возрастания абсцисс от A1 до A2012 (в этом же порядке они будут появляться при обходе 2012-угольника против часовой стрелки). Применяя 1005 раз вышеприведённое следствие, последовательно получим
A1A2012 > A2A2011 > ...
> A1006A1007. Противоречие.
Ответ
а) Существует; б) не существует.
